Дистанційне навчання

Алгебра. 8 клас.

Повторення

Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій

Означення. Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або кожне з рівнянь не має коренів [1, с.46].

Означення. Рівняння, ліва й права частини якого є раціональними виразами, називають раціональним [1, с.47].

Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля [1, с.47].

Приклад 4. Турист проплив на човні 3 км за течією річки та 2 км проти течії за 30 хв. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2 км/год.

Розв'язання.Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює х км/год. Тоді його швидкість за течією річки становить (х+2) км/год, а проти течії - (х - 2) км/год. Турист проплив 3 км за течією за 3/(х +2) год, а 2 км проти течії - за 2/(х -2) год. Оскільки весь шлях було пройдено за 30 хв = 1/2 год, то 3/(х+2) +2/(х-2) = 1/2.

Розв'яжемо отримане рівняння:

3/(х+2) +2/(х-2) =1/2;

(3х -6 +2х +4)/((х+2)(х-2) - 1/2= 0;
(10х - 4  - х²+4): 2(-4+х²)=0;

(10х-х²⁾/2(-4 +х²)=0;

10х-х²⁼0;

х(10-х)=0;

х=0 або х=10.

2(-4+ х²) не дорівнює нулю, тобто х не дорівнює 2 і -2.

Корінь х=0 не задовольняє змісту задачі. Отже, швидкість човна в стоячій воді дорівнює 10 км/год.

Відповідь 10 км/год [1, с.49].

У п. 7   ви вже ознайомилися із задачами, у яких раціональні рівняння слугували математичними моделями реальних ситуацій. Тепер, коли ви навчилися розв'язуватквадратні рівняння, можна істотно розширити коло задач, які розглядаються.

Приклад 1. Із пункту А виїхав велосипедист, а через 45 хв після цього в тому самому напрямку виїхала вантажівка, яка наздогнала велосипедиста на відстані 15 км від пункту А. Знайдіть швикість велосипедиста та швидкість вантажівки, якщо швидкість вантажівки на 18 км/год більша за швидкість велосипедиста.

Розв'язання. Нехай швидкість велосипедиста дорівнює х км/год, тоді швидкість вантажівки становить (х+18) км/год. Велосипедист проїжджає 15 км за 15/х год, а вантажівка - за 15/(х+18) год. Різниця 15/х - 15/(х+18) показує, на скільки годин вантажівка проїжджає 15 км швидше, ніж велосипедист. Оскільки вантажівка проїхала 15 км на 45 хв, тобто на 3/4 год, щвидше, ніж велосипедист, то отримуємо рівняння 

15/х - 15/(х+18)= 3/4.

Розв' яжемо це рівняння:

15/х - 15/(х+18) = 3/4;

5/х -5/(х+18) = 1/4;

(20х+360 -20х - х²):4х(х+18) = 0;

18х+х²-360=0;

х не дорівнює 0, х не дорівнює -18.

Розв'язавши квадратне рівняння системи, отримаємо х=12 або х=-30.

Корінь -30 не задовольняє умову задачі.

Отже, швидкість велосипедиста дорівнює 12 км/год, а швидкість вантажівки становить 12 + 18 = 30 (км/год).

Відповідь: 12 км/год, 30 км/год [1, с.181].

Список використаних джерел:

1. Мерзляк А. Г. Алгебра: підруч.для 8 кл.загальноосвіт.навч.закладів/А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. - Х.:Гімназія, 2016. - 240 с.: іл.

ISBN 978-966-474-273-0

https://www.youtube.com/watch?v=FekExlQsRwY